საკითხი იმის შესახებ, გადასაწყვეტია თუ არა ტურინგის მანქანის გაჩერების პრობლემა, არის ფუნდამენტური საკითხი თეორიული კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, განსაკუთრებით გამოთვლითი სირთულის თეორიისა და გადაწყვეტილების სფეროებში. შეჩერების პრობლემა არის გადაწყვეტილების პრობლემა, რომელიც შეიძლება არაფორმალურად განისაზღვროს შემდეგნაირად: ტურინგის მანქანისა და შეყვანის აღწერილობის გათვალისწინებით, განსაზღვრეთ, საბოლოოდ შეჩერდება თუ არა ტურინგის მანქანა ამ შეყვანით მუშაობისას, ან იმუშავებს თუ არა სამუდამოდ.
შეჩერების პრობლემის გადაწყვეტადობის გადასაჭრელად აუცილებელია თავად გადაწყვეტილების კონცეფციის გაგება. პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს, თუ არსებობს ალგორითმი, რომელსაც შეუძლია უზრუნველყოს სწორი დიახ ან არა პასუხი პრობლემის ყველა შემთხვევაზე სასრულ დროში. პირიქით, პრობლემა გადაუჭრელია, თუ ასეთი ალგორითმი არ არსებობს.
შეჩერების პრობლემა პირველად წამოაყენა და დაამტკიცა, რომ გადაუჭრელი იყო ალან ტურინგმა 1936 წელს. ტურინგის მტკიცებულება არის დიაგონალიზაციის არგუმენტის კლასიკური მაგალითი და გულისხმობს თვითმიმართვისა და წინააღმდეგობების ჭკვიანურ გამოყენებას. მტკიცებულება შეიძლება გამოიკვეთოს შემდეგნაირად:
1. გადაწყვეტილების დაშვება: დავუშვათ, წინააღმდეგობის მიზნით, რომ არსებობს ტურინგის მანქანა (H), რომელსაც შეუძლია გადაწყვიტოს შეჩერების პრობლემა. ანუ, (H) იღებს შეყვანად წყვილს ( (M, w) ), სადაც (M) არის ტურინგის მანქანის აღწერა და (w) არის შეყვანის სტრიქონი და (H(M, w)) აბრუნებს " დიახ" თუ (M) ჩერდება (w)-ზე და "არა" თუ (M) არ ჩერდება (w)-ზე.
2. პარადოქსული მანქანის მშენებლობა: ( H ) გამოყენებით, ააშენეთ ახალი ტურინგის მანქანა (D), რომელიც იღებს ერთ შეყვანას (M) (ტურინგის მანქანის აღწერა) და იქცევა შემდეგნაირად:
– ( D(M) ) გაშვებები ( H(M, M) ).
– თუ ( H(M, M) ) დააბრუნებს "არას", მაშინ (D(M) ) ჩერდება.
– თუ ( H(M, M) ) დააბრუნებს "დიახ", მაშინ (D(M) ) შედის უსასრულო ციკლში.
3. თვითმინიშნება და წინააღმდეგობა: განვიხილოთ (D) ქცევა, როდესაც მას ეძლევა საკუთარი აღწერა, როგორც შეყვანის სახით. მოდით (d) იყოს (D) აღწერა. შემდეგ გვაქვს ორი შემთხვევა:
– თუ (D(d) ) ჩერდება, მაშინ (D)-ის განმარტებით, (H(d, d)) უნდა დააბრუნოს „არა“, რაც ნიშნავს, რომ (D(d)) არ უნდა შეჩერდეს – ეს არის წინააღმდეგობა.
– თუ (D(d) ) არ ჩერდება, მაშინ (D)-ის განმარტებით, (H(d, d)) უნდა დააბრუნოს „დიახ“, რაც ნიშნავს, რომ (D(d)) უნდა შეჩერდეს – ისევ წინააღმდეგობა. .
ვინაიდან ორივე შემთხვევა იწვევს წინააღმდეგობებს, საწყისი ვარაუდი იმის შესახებ, რომ (H) არსებობს, მცდარი უნდა იყოს. ამიტომ, შეჩერების პრობლემა გადაუჭრელია.
ეს მტკიცებულება ცხადყოფს, რომ არ არსებობს ზოგადი ალგორითმი, რომელსაც შეუძლია გადაჭრას შეჩერების პრობლემა ყველა შესაძლო ტურინგის მანქანებისა და შეყვანისთვის. შეჩერების პრობლემის გადაუჭრელობა ღრმა გავლენას ახდენს გამოთვლის საზღვრებზე და რა შეიძლება განისაზღვროს ალგორითმულად. ეს გვიჩვენებს, რომ არსებობს თანდაყოლილი შეზღუდვები იმის შესახებ, თუ რა შეიძლება გამოითვალოს და ზოგიერთი პრობლემა მიუწვდომელია ნებისმიერი ალგორითმისთვის.
შეჩერების პრობლემის შემდგომი საილუსტრაციოდ, განიხილეთ შემდეგი მაგალითები:
- პროგრამის შემოწმება: შეიძლება გვსურს გადაამოწმო, რომ მოცემული პროგრამა მთავრდება ყველა შესაძლო შეყვანისთვის. შეჩერების პრობლემის გადაუჭრელობის გამო, შეუძლებელია შეიქმნას ზოგადი დანიშნულების პროგრამის შემმოწმებელი, რომელსაც შეუძლია განსაზღვროს, შეჩერდება თუ არა პროგრამა ყველა შესაძლო პროგრამისა და შეყვანისთვის.
- უსაფრთხოების ანალიზი: კიბერუსაფრთხოებაში, შეიძლება გაანალიზდეს, შეწყვეტს თუ არა მავნე პროგრამის ნაწილის შესრულებას. შეჩერების პრობლემის გადაუჭრელობა გულისხმობს, რომ არ არსებობს ზოგადი ალგორითმი, რომელიც განსაზღვრავს, შეჩერდება თუ არა რომელიმე მავნე პროგრამა.
- მათემატიკური მტკიცებულებები: შეჩერების პრობლემა დაკავშირებულია გოდელის არასრულყოფილების თეორემებთან, რომლებიც აცხადებენ, რომ ნებისმიერ საკმარისად მძლავრ ფორმალურ სისტემაში არის ჭეშმარიტი განცხადებები, რომელთა დამტკიცება შეუძლებელია სისტემის შიგნით. შეჩერების პრობლემის გადაუჭრელობა გვიჩვენებს, რომ არსებობს კითხვები ალგორითმების ქცევასთან დაკავშირებით, რომლებზეც პასუხის გაცემა შეუძლებელია ალგორითმული გამოთვლის ფარგლებში.
შეჩერების პრობლემის გადაუჭრელობა ასევე იწვევს კონცეფციას შემცირების უნარი გამოთვლითი სირთულის თეორიაში. პრობლემა ( A ) შეიძლება შემცირდეს პრობლემამდე (B), თუ (B) ამოხსნა შეიძლება გამოყენებულ იქნას (A) ამოსახსნელად. თუ შეჩერების პრობლემა გადასაწყვეტი იყო, მაშინ ბევრი სხვა გადაუჭრელი პრობლემა ასევე შეიძლება გადაწყდეს შეჩერების პრობლემამდე შემცირებით. თუმცა, ვინაიდან შეჩერების პრობლემა გადაუწყვეტელია, ნებისმიერი პრობლემა, რომელიც შეიძლება შეჩერდეს პრობლემამდე, ასევე გადაუჭრელია.
ტურინგის მანქანის გაჩერების პრობლემა გადაუჭრელია. ეს შედეგი არის თეორიული კომპიუტერული მეცნიერების ქვაკუთხედი და აქვს შორსმიმავალი გავლენა გამოთვლის, ალგორითმული საზღვრებისა და მათემატიკური ჭეშმარიტების ბუნების გაგებაზე.
სხვა ბოლოდროინდელი კითხვები და პასუხები გადაწყვეტილების მიღება:
- შეიძლება თუ არა ლენტი შემოიფარგლოს შეყვანის ზომით (რაც ექვივალენტურია ტურინგის მანქანის ხელმძღვანელის შეზღუდული TM ფირის შეყვანის მიღმა გადაადგილებით)?
- რას ნიშნავს ტურინგის მანქანების სხვადასხვა ვარიაციები გამოთვლით შესაძლებლობებში ექვივალენტური იყოს?
- შეუძლია თუ არა ტურინგის ცნობადმა ენამ შექმნას გადამწყვეტი ენის ქვეჯგუფი?
- თუ გვაქვს ორი TM, რომელიც აღწერს გადაწყვეტილ ენას, არის თუ არა ეკვივალენტობის საკითხი ჯერ კიდევ გადაუჭრელი?
- რით განსხვავდება წრფივი შეზღუდული ავტომატების მიღების პრობლემა ტურინგის მანქანებისგან?
- მოიყვანეთ პრობლემის მაგალითი, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს წრფივი შემოსაზღვრული ავტომატით.
- განმარტეთ გადაწყვეტილების ცნება ხაზოვანი შეზღუდული ავტომატების კონტექსტში.
- როგორ მოქმედებს ფირის ზომა ხაზოვანი შეზღუდულ ავტომატებში განსხვავებული კონფიგურაციების რაოდენობაზე?
- რა არის მთავარი განსხვავება წრფივი შეზღუდულ ავტომატებსა და ტურინგის მანქანებს შორის?
- აღწერეთ ტურინგის მანქანის გარდაქმნის პროცესი PCP-სთვის ფილების ნაკრებად და როგორ წარმოადგენენ ეს ფილები გამოთვლის ისტორიას.
იხილეთ მეტი კითხვა და პასუხი Decidability-ში