გამოთვლითი ფუნქცია, გამოთვლითი სირთულის თეორიის კონტექსტში, ეხება ფუნქციას, რომელიც შეიძლება ეფექტურად გამოითვალოს ალგორითმით. ეს არის ფუნდამენტური კონცეფცია კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში და მნიშვნელოვან როლს ასრულებს გამოთვლის საზღვრების გაგებაში.
გამოთვლითი ფუნქციის განსასაზღვრად, ჩვენ უნდა ჩამოვაყალიბოთ ფორმალური ჩარჩო, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ვიმსჯელოთ გამოთვლითი მოდელების შესაძლებლობებსა და შეზღუდვებზე. ერთ-ერთი ასეთი ჩარჩო არის ტურინგის მანქანა, რომელიც დაინერგა ალან ტურინგმა 1936 წელს. ტურინგის მანქანა არის აბსტრაქტული მათემატიკური მოდელი, რომელიც შედგება უჯრედებად დაყოფილი ფირისგან, წაკითხვის-წერის ხელმძღვანელისგან და მდგომარეობების ნაკრებისგან. მანქანა მუშაობს სიმბოლოს წაკითხვით მიმდინარე უჯრედზე, გადადის ახალ მდგომარეობაზე არსებული მდგომარეობისა და სიმბოლოს საფუძველზე და ცვლის სიმბოლოს მიმდინარე უჯრედზე. მას ასევე შეუძლია წაიკითხოს-ჩაწერის თავი ერთი უჯრედის მარცხნივ ან მარჯვნივ გადატანა.
ტურინგის მანქანების კონტექსტში, გამოთვლითი ფუნქცია განისაზღვრება, როგორც ფუნქცია, რომლისთვისაც არსებობს ტურინგის მანქანა, რომელიც, ნებისმიერი შეყვანის გათვალისწინებით, აჩერებს და აწარმოებს სწორ გამომავალს ამ შეყვანისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია გამოთვლადია, თუ არსებობს ალგორითმი, რომელსაც შეუძლია გამოთვალოს მისი მნიშვნელობა ნებისმიერი მოცემული შეყვანისთვის. ეს კონცეფცია მჭიდრო კავშირშია გადაწყვეტილების ცნებასთან, რომელიც გულისხმობს იმის უნარს, დაადგინოს, აკმაყოფილებს თუ არა მოცემული შენატანი კონკრეტულ თვისებას.
გამოთვლითი ფუნქციების ცნება შეიძლება შემდგომ ფორმალიზდეს დროის სირთულის კონცეფციის გამოყენებით. დროის სირთულე ზომავს დროის რაოდენობას, რომელსაც ალგორითმი სჭირდება პრობლემის გადასაჭრელად, შეყვანის ზომის ფუნქციით. ითვლება, რომ ფუნქცია გამოთვლადია პოლინომიურ დროში, თუ არსებობს ტურინგის მანქანა, რომელსაც შეუძლია გამოთვალოს ფუნქცია რამდენიმე საფეხურზე, რომელიც პოლინომიულია შეყვანის ზომით. პოლინომიური დროის გამოთვლითი ფუნქციები ითვლება ეფექტურად, რადგან მათი გაშვების დრო იზრდება მაქსიმუმ პოლინომიურად შეყვანის ზომასთან ერთად.
გამოთვლითი ფუნქციების კონცეფციის საილუსტრაციოდ განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს არის თუ არა მოცემული რიცხვი მარტივი. ეს ფუნქცია იღებს n-ს შეყვანას და აბრუნებს ჭეშმარიტს, თუ n არის მარტივი და ცრუ. პირველობის ტესტირების ფუნქცია გამოთვლადია, რადგან არსებობს ალგორითმი, როგორიცაა ერატოსთენეს საცერი, რომელსაც შეუძლია განსაზღვროს ნებისმიერი მოცემული რიცხვის პირველობა.
ამის საპირისპიროდ, განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს, ჩერდება თუ არა მოცემული პროგრამა კონკრეტულ შეყვანაზე. ეს ფუნქცია, რომელიც ცნობილია როგორც შეჩერების პრობლემა, არ არის გამოთვლადი. ეს დაამტკიცა ალან ტურინგმა 1936 წელს დიაგონალიზაციის ტექნიკის გამოყენებით. ტურინგის მტკიცებულებამ აჩვენა, რომ არ შეიძლება არსებობდეს ალგორითმი, რომელსაც შეუძლია გადაწყვიტოს, ნებისმიერი მოცემული პროგრამისა და შეყვანისთვის, შეჩერდება თუ არა პროგრამა სამუდამოდ.
გამოთვლითი ფუნქცია გამოთვლითი სირთულის თეორიის კონტექსტში ეხება ფუნქციას, რომელიც შეიძლება ეფექტურად გამოითვალოს ალგორითმით. ეს არის ფუნდამენტური კონცეფცია კომპიუტერულ მეცნიერებაში და მჭიდროდ არის დაკავშირებული გადაწყვეტილების ცნებასთან. გამოთვლითი ფუნქციების კონცეფცია ფორმალიზებულია ტურინგის მანქანებისა და დროის სირთულის გამოყენებით. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი ფუნქცია გამოთვლადია, ასევე არის ფუნქციები, როგორიცაა შეჩერების პრობლემა, რომლებიც აშკარად არ არის გამოთვლადი.
სხვა ბოლოდროინდელი კითხვები და პასუხები გამოთვლადი ფუნქციები:
- რას ნიშნავს ტურინგის მანქანების სხვადასხვა ვარიაციები გამოთვლით შესაძლებლობებში ექვივალენტური იყოს?
- ახსენით კავშირი გამოთვლილ ფუნქციასა და ტურინგის მანქანის არსებობას შორის, რომელსაც შეუძლია მისი გამოთვლა.
- რა მნიშვნელობა აქვს ტურინგის მანქანას, რომელიც ყოველთვის ჩერდება გამოთვლითი ფუნქციის გამოთვლისას?
- შეიძლება თუ არა ტურინგის მანქანის შეცვლა ისე, რომ ყოველთვის მიიღოს ფუნქცია? ახსენით რატომ ან რატომ არა.
- როგორ ითვლის ტურინგის მანქანა ფუნქციას და რა როლი აქვს შემავალი და გამომავალი ლენტები?