PSPACE კლასი არ არის EXPSPACE კლასის ტოლი?
კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა PSPACE კლასი EXPSPACE კლასის ტოლი, არის ფუნდამენტური და გადაუჭრელი პრობლემა გამოთვლითი სირთულის თეორიაში. ყოვლისმომცველი გაგების უზრუნველსაყოფად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ამ სირთულის კლასების განმარტებები, თვისებები და შედეგები, ისევე როგორც სივრცის სირთულის უფრო ფართო კონტექსტი.
განმარტებები და ძირითადი თვისებები
PSPACE: PSPACE კლასი შედგება გადაწყვეტილების ყველა ამოცანისგან, რომელიც შეიძლება გადაჭრას ტურინგის მანქანით სივრცის პოლინომიური რაოდენობის გამოყენებით. ფორმალურად, ენა L არის PSPACE-ში, თუ არსებობს ტურინგის მანქანა M და პოლინომიური ფუნქცია p(n) ისეთი, რომ ყოველი x შეყვანისთვის მანქანა M წყვეტს არის თუ არა x L-ში მაქსიმუმ p(|x|) სივრცის გამოყენებით. PSPACE მოიცავს ამოცანების ფართო სპექტრს, მათ შორის ისეთებს, რომლებიც ამოსახსნელია პოლინომიურ დროში (P) და ისეთებს, რომლებიც სრულია PSPACE-ისთვის, როგორიცაა რაოდენობრივი ლოგიკური ფორმულა (QBF) პრობლემა.
EXPSPACE: EXPSPACE კლასი მოიცავს ყველა გადაწყვეტილების პრობლემას, რომელიც შეიძლება გადაჭრას ტურინგის მანქანამ ექსპონენციალური სივრცის გამოყენებით. კონკრეტულად, ენა L არის EXPSPACE-ში, თუ არსებობს ტურინგის მანქანა M და ექსპონენციალური ფუნქცია f(n) ისეთი, რომ ყოველი x შეყვანისთვის მანქანა M წყვეტს არის თუ არა x L-ში მაქსიმუმ 2^f(|x|) გამოყენებით. სივრცე. EXPSPACE უფრო დიდი კლასია, ვიდრე PSPACE, რადგან ის იძლევა ექსპონენტურად მეტი სივრცის გამოყოფის საშუალებას, რაც იძლევა პრობლემების უფრო ფართო სპექტრის გადაჭრის საშუალებას.
ურთიერთობა PSPACE-სა და EXPSPACE-ს შორის
PSPACE-სა და EXPSPACE-ს შორის ურთიერთობის გასაგებად, მნიშვნელოვანია სივრცის სირთულის კლასების იერარქიის ამოცნობა. განმარტებით, PSPACE შეიცავს EXPSPACE-ს, რადგან ნებისმიერი პრობლემა, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს პოლინომიური სივრცის გამოყენებით, ასევე შეიძლება გადაწყდეს ექსპონენციალური სივრცის გამოყენებით. ფორმალურად, PSPACE ⊆ EXPSPACE. თუმცა, საპირისპირო სულაც არ არის სიმართლე; გავრცელებულია მოსაზრება, რომ EXPSPACE შეიცავს ამოცანებს, რომელთა გადაჭრა შეუძლებელია პოლინომიური სივრცის გამოყენებით, რაც გულისხმობს იმას, რომ PSPACE ≠ EXPSPACE.
მაგალითები და შედეგები
განვიხილოთ QBF პრობლემა, რომელიც არის PSPACE-სრული. ეს პრობლემა გულისხმობს რაოდენობრივი ბულის ფორმულის ჭეშმარიტების დადგენას და მისი გადაჭრა შესაძლებელია პოლინომიური სივრცის გამოყენებით. ვინაიდან QBF არის PSPACE-სრული, PSPACE-ის ნებისმიერი პრობლემა შეიძლება შემცირდეს QBF-მდე პოლინომიურ დროში. მეორეს მხრივ, პრობლემის მაგალითი EXPSPACE-ში, მაგრამ არა აუცილებლად PSPACE-ში, არის ხელმისაწვდომობის პრობლემა ტურინგის მანქანების მონაცვლეობით ექსპონენციალური სივრცის საზღვრებით. ეს პრობლემა მოითხოვს მრავალი კონფიგურაციის ექსპონენციურად თვალყურის დევნებას, რაც შეუძლებელია პოლინომიური სივრცით.
სივრცის იერარქიის თეორემა
სივრცის იერარქიის თეორემა იძლევა ოფიციალურ საფუძველს იმ რწმენისთვის, რომ PSPACE მკაცრად შეიცავს EXPSPACE-ს. ეს თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი სივრცეში კონსტრუქციული ფუნქციისთვის f(n), არსებობს ენა, რომლის გადაწყვეტაც შესაძლებელია f(n) სივრცეში, მაგრამ არა o(f(n) სივრცეში). ამ თეორემის გამოყენებით f(n) = 2^n მივიღებთ, რომ არსებობს ექსპონენციალურ სივრცეში ამოსახსნელი ამოცანები, რომლებიც არ შეიძლება გადაწყდეს არცერთ სუბექსპონენციურ სივრცეში, მათ შორის მრავალწევრულ სივრცეში. ამიტომ, სივრცის იერარქიის თეორემა გულისხმობს, რომ PSPACE მკაცრად შეიცავს EXPSPACE-ს, ანუ PSPACE ⊂ EXPSPACE.
PSPACE-ის გადაუჭრელი ბუნება ≠ EXPSPACE
სივრცის იერარქიის თეორემით მოწოდებული ძლიერი მტკიცებულების მიუხედავად, საკითხი იმის შესახებ, არის თუ არა PSPACE EXPSPACE-ის ტოლი, გადაუჭრელი რჩება. ეს იმიტომ ხდება, რომ მკაცრი უთანასწორობის დასამტკიცებლად PSPACE ≠ EXPSPACE მოითხოვს EXPSPACE-ში კონკრეტული პრობლემის არსებობის დემონსტრირებას, რომელიც ვერ გადაიჭრება PSPACE-ში, რაც დღემდე არ არის შესრულებული. სირთულე მდგომარეობს სირთულის კლასებს შორის განცალკევების მტკიცების თანდაყოლილ გამოწვევებში, რაც საერთო თემაა გამოთვლითი სირთულის თეორიაში.
უფრო ფართო კონტექსტის და დაკავშირებული სირთულის კლასები
PSPACE-სა და EXPSPACE-ს შორის ურთიერთობა შეიძლება კონტექსტუალიზებული იყოს სირთულის კლასების უფრო ფართო ლანდშაფტში. მაგალითად, კლასი P (პრობლემები გადაწყვეტილი მრავალწევრულ დროში) არის PSPACE-ის ქვესიმრავლე და გავრცელებულია მოსაზრება, რომ P ≠ PSPACE. ანალოგიურად, კლასი NP (არადეტერმინისტული პოლინომიური დრო) ასევე შეიცავს PSPACE-ში და ცნობილი P vs. NP პრობლემა არის ცენტრალური ღია კითხვა ამ სფეროში. შეკავების ურთიერთობები ამ კლასებს შორის შეჯამებულია შემდეგნაირად:
– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE
ამ კლასების გარდა, არსებობს სხვა მნიშვნელოვანი სივრცის სირთულის კლასები, როგორიცაა L (ლოგარითმული სივრცე) და NL (არადეტერმინისტული ლოგარითმული სივრცე), რომლებიც PSPACE-ის ქვეჯგუფებია. ამ კლასებს შორის ურთიერთობები კიდევ უფრო ასახავს გამოთვლითი სირთულის იერარქიას სივრცის მოთხოვნილებებზე დაყრდნობით.
კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა PSPACE EXPSPACE-ის ტოლი, არის ფუნდამენტური და გადაუჭრელი პრობლემა გამოთვლითი სირთულის თეორიაში. მიუხედავად იმისა, რომ სივრცის იერარქიის თეორემა იძლევა ძლიერ მტკიცებულებას, რომ PSPACE მკაცრად შეიცავს EXPSPACE-ს, მკაცრი უთანასწორობის ფორმალური მტკიცებულება PSPACE ≠ EXPSPACE კვლავ მიუწვდომელია. ამ კითხვის შესწავლა ნათელს ჰფენს სირთულის კლასების უფრო ფართო ლანდშაფტს და მათ შორის განცალკევების მტკიცების თანდაყოლილ გამოწვევებს.
სხვა ბოლოდროინდელი კითხვები და პასუხები სირთულე:
- არის P სირთულის კლასი PSPACE კლასის ქვესიმრავლე?
- შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ Np და P კლასი ერთნაირია, თუ ვიპოვით ეფექტური პოლინომიური ამოხსნის ნებისმიერი NP სრული ამოცანის დეტერმინისტულ TM-ზე?
- შეიძლება NP კლასი იყოს EXPTIME კლასის ტოლი?
- არის თუ არა პრობლემები PSPACE-ში, რომლისთვისაც არ არის ცნობილი NP ალგორითმი?
- შეიძლება თუ არა SAT პრობლემა იყოს NP სრული პრობლემა?
- შეიძლება თუ არა პრობლემა იყოს NP სირთულის კლასში, თუ არსებობს არადეტერმინისტული ტურინგ მანქანა, რომელიც გადაჭრის მას პოლინომიურ დროში
- NP არის ენების კლასი, რომლებსაც აქვთ დროის პოლინომიური გადამოწმებები
- არის P და NP რეალურად ერთი და იგივე სირთულის კლასი?
- არის ყველა კონტექსტის თავისუფალი ენა P სირთულის კლასში?
- არის თუ არა წინააღმდეგობა NP-ის, როგორც გადაწყვეტილების ამოცანების კლასის განმარტებას პოლინომიურ-დროის შემმოწმებელებთან და იმ ფაქტს შორის, რომ P კლასში არსებულ ამოცანებს ასევე აქვთ პოლინომიური დროის გადამოწმებები?
იხილეთ მეტი კითხვა და პასუხი სირთულის განყოფილებაში