გამოთვლითი სირთულის თეორიის სფეროში, P და PSPACE სირთულის კლასებს შორის კავშირი შესწავლის ფუნდამენტური თემაა. კითხვაზე, არის თუ არა P სირთულის კლასი PSPACE კლასის ქვესიმრავლე, თუ ორივე კლასი ერთნაირია, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ამ კლასების განმარტებები და თვისებები და გავაანალიზოთ მათი ურთიერთკავშირი.
სირთულის კლასი P (პოლინომიური დრო) შედგება გადაწყვეტილების ამოცანებისგან, რომლებიც შეიძლება გადაწყდეს დეტერმინისტული ტურინგის მანქანით პოლინომიურ დროში. ფორმალურად, ენა L ეკუთვნის P-ს, თუ არსებობს დეტერმინისტული ტურინგის მანქანა M და პოლინომი p(n) ისეთი, რომ ყველა x სტრიქონისთვის M გადაწყვეტს, ეკუთვნის თუ არა x L-ს მაქსიმუმ p(|x|) ნაბიჯებით, სადაც | x| აღნიშნავს x სტრიქონის სიგრძეს. უფრო მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, P-ში პრობლემების გადაჭრა შესაძლებელია ეფექტურად, საჭირო დრო იზრდება მაქსიმუმ პოლინომიურად შეყვანის ზომასთან.
მეორეს მხრივ, PSPACE (პოლინომიური სივრცე) მოიცავს გადაწყვეტილების ამოცანებს, რომლებიც შეიძლება გადაწყდეს ტურინგის მანქანის მიერ სივრცის პოლინომიური რაოდენობის გამოყენებით. ენა L არის PSPACE-ში, თუ არსებობს ტურინგის მანქანა M და პოლინომი p(n) ისეთი, რომ ყველა x სტრიქონისთვის M გადაწყვეტს, ეკუთვნის თუ არა x L-ს მაქსიმუმ p(|x|) სივრცის გამოყენებით. აღსანიშნავია, რომ გამოთვლებისთვის საჭირო დრო არ შემოიფარგლება მრავალწევრით; მხოლოდ სივრცეა.
P-სა და PSPACE-ს შორის ურთიერთობის გასაგებად, გაითვალისწინეთ შემდეგი პუნქტები:
1. P-ის ჩართვა PSPACE-ში: ნებისმიერი ამოცანის ამოხსნა, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია მრავალწევრულ დროში, ასევე შეიძლება ამოხსნას მრავალწევრულ სივრცეში. ეს იმიტომ ხდება, რომ დეტერმინისტული ტურინგის მანქანა, რომელიც პრობლემას ხსნის პოლინომიურ დროში, გამოიყენებს მაქსიმუმ მრავალწევრებულ სივრცეს, რადგან მას არ შეუძლია გამოიყენოს მეტი სივრცე, ვიდრე გადადგმული ნაბიჯები. ამიტომ, P არის PSPACE-ის ქვესიმრავლე. ფორმალურად, P ⊆ PSPACE.
2. P და PSPACE-ის პოტენციური თანასწორობა: კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა P PSPACE-ის ტოლი (P = PSPACE) არის ერთ-ერთი მთავარი ღია პრობლემა გამოთვლითი სირთულის თეორიაში. თუ P ტოლი იქნება PSPACE, ეს ნიშნავს, რომ ყველა ამოცანის ამოხსნა, რომელიც შეიძლება ამოხსნას მრავალწევრიანი სივრცით, ასევე შეიძლება გადაიჭრას მრავალწევრულ დროში. თუმცა, ამჟამად არ არსებობს არანაირი მტკიცებულება, რომელიც დაადასტურებს ან უარყოფს ამ თანასწორობას. სირთულის თეორეტიკოსთა უმეტესობა თვლის, რომ P მკაცრად შეიცავს PSPACE-ს (P ⊊ PSPACE), რაც ნიშნავს რომ არის პრობლემები PSPACE-ში, რომლებიც არ არის P-ში.
3. მაგალითები და შედეგები: განიხილეთ პრობლემა იმის დასადგენად, არის თუ არა მოცემული რაოდენობრივი ლოგიკური ფორმულა (QBF). ეს პრობლემა, რომელიც ცნობილია როგორც TQBF (True Quantified Boolean Formula), არის კანონიკური PSPACE-სრული პრობლემა. პრობლემა არის PSPACE-სრული, თუ ის არის PSPACE-ში და PSPACE-ის ყველა პრობლემა შეიძლება შემცირდეს მასზე პოლინომიური დროის შემცირების გამოყენებით. ითვლება, რომ TQBF არ არის P-ში, რადგან ის მოითხოვს ყველა შესაძლო სიმართლის მინიჭების შეფასებას ცვლადებზე, რაც, როგორც წესი, არ შეიძლება გაკეთდეს პოლინომიურ დროში. თუმცა, მისი ამოხსნა შესაძლებელია პოლინომიური სივრცის გამოყენებით ქვეფორმულების რეკურსიული შეფასებით.
4. სირთულის კლასების იერარქია: P-სა და PSPACE-ს შორის ურთიერთობა შეიძლება უკეთ გავიგოთ სირთულის კლასების უფრო ფართო კონტექსტის გათვალისწინებით. კლასი NP (არადეტერმინისტული პოლინომიური დრო) შედგება გადაწყვეტილების ამოცანებისგან, რომელთა ამოხსნის შემოწმება შესაძლებელია მრავალწევრულ დროში. ცნობილია, რომ P ⊆ NP ⊆ PSPACE. თუმცა, ამ კლასებს შორის ზუსტი ურთიერთობები (მაგ. P = NP თუ NP = PSPACE) გადაუჭრელი რჩება.
5. სავიჩის თეორემა: სირთულის თეორიის მნიშვნელოვანი შედეგია სავიჩის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ ნებისმიერი ამოსახსნელი პრობლემა არადეტერმინისტურ პოლინომურ სივრცეში (NPSPACE) შეიძლება ასევე გადაწყდეს დეტერმინისტურ პოლინომურ სივრცეში. ფორმალურად, NPSPACE = PSPACE. ეს თეორემა ხაზს უსვამს PSPACE კლასის სიმტკიცეს და ხაზს უსვამს იმას, რომ არადეტერმინიზმი არ იძლევა დამატებით გამოთვლით ძალას სივრცის სირთულის თვალსაზრისით.
6. პრაქტიკული შედეგები: P-სა და PSPACE-ს შორის ურთიერთობის გაგება მნიშვნელოვან გავლენას ახდენს პრაქტიკულ გამოთვლებზე. პრობლემები P-ში განიხილება ეფექტურად გადაჭრად და შესაფერისია რეალურ დროში აპლიკაციებისთვის. ამის საპირისპიროდ, პრობლემები PSPACE-ში, მიუხედავად იმისა, რომ ამოსახსნელია პოლინომიური სივრცით, შეიძლება მოითხოვოს ექსპონენციალური დრო, რაც მათ არაპრაქტიკულს ხდის დიდი შეყვანისთვის. იმის დადგენა, არის თუ არა პრობლემა P-ში ან PSPACE-ში, გვეხმარება რეალურ სამყაროში აპლიკაციებისთვის ეფექტური ალგორითმების პოვნის მიზანშეწონილობის დადგენაში.
7. კვლევის მიმართულებები: P vs. PSPACE საკითხის შესწავლა კვლავაც კვლევის აქტიურ სფეროდ რჩება. ამ სფეროში მიღწევებმა შეიძლება გამოიწვიოს გარღვევა გამოთვლის ფუნდამენტური საზღვრების გაგებაში. მკვლევარები იკვლევენ სხვადასხვა ტექნიკას, როგორიცაა მიკროსქემის სირთულე, ინტერაქტიული მტკიცებულებები და ალგებრული მეთოდები, რათა მიიღონ ინფორმაცია სირთულის კლასებს შორის ურთიერთობის შესახებ.
სირთულის კლასი P ნამდვილად არის PSPACE-ის ქვესიმრავლე, რადგან პოლინომიურ დროში ამოხსნილი ნებისმიერი პრობლემა ასევე შეიძლება გადაიჭრას მრავალწევრულ სივრცეში. თუმცა, არის თუ არა P PSPACE-ის ტოლი, რჩება ღია კითხვა გამოთვლითი სირთულის თეორიაში. გაბატონებული რწმენაა, რომ P მკაცრად შეიცავს PSPACE-ს, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ PSPACE-ში არის პრობლემები, რომლებიც არ არის P-ში. გამოთვლითი სირთულე.
სხვა ბოლოდროინდელი კითხვები და პასუხები სირთულე:
- PSPACE კლასი არ არის EXPSPACE კლასის ტოლი?
- შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ Np და P კლასი ერთნაირია, თუ ვიპოვით ეფექტური პოლინომიური ამოხსნის ნებისმიერი NP სრული ამოცანის დეტერმინისტულ TM-ზე?
- შეიძლება NP კლასი იყოს EXPTIME კლასის ტოლი?
- არის თუ არა პრობლემები PSPACE-ში, რომლისთვისაც არ არის ცნობილი NP ალგორითმი?
- შეიძლება თუ არა SAT პრობლემა იყოს NP სრული პრობლემა?
- შეიძლება თუ არა პრობლემა იყოს NP სირთულის კლასში, თუ არსებობს არადეტერმინისტული ტურინგ მანქანა, რომელიც გადაჭრის მას პოლინომიურ დროში
- NP არის ენების კლასი, რომლებსაც აქვთ დროის პოლინომიური გადამოწმებები
- არის P და NP რეალურად ერთი და იგივე სირთულის კლასი?
- არის ყველა კონტექსტის თავისუფალი ენა P სირთულის კლასში?
- არის თუ არა წინააღმდეგობა NP-ის, როგორც გადაწყვეტილების ამოცანების კლასის განმარტებას პოლინომიურ-დროის შემმოწმებელებთან და იმ ფაქტს შორის, რომ P კლასში არსებულ ამოცანებს ასევე აქვთ პოლინომიური დროის გადამოწმებები?
იხილეთ მეტი კითხვა და პასუხი სირთულის განყოფილებაში