როგორ გამოითვლება b პარამეტრი წრფივ რეგრესიაში (საუკეთესო მორგებული ხაზის y-კვეთა)?

/ / გამოქვეყნებულია ხელოვნური ინტელექტი, EITC/AI/MLP მანქანური სწავლება Python- ით, რეგრესიის, რეგრესის გაგება

წრფივი რეგრესიის კონტექსტში პარამეტრი b (საყოველთაოდ მოხსენიებული, როგორც საუკეთესო მორგებული ხაზის y-გადაკვეთა) წრფივი განტოლების მნიშვნელოვანი კომპონენტია y = m x + b, სადაც m წარმოადგენს ხაზის დახრილობას. თქვენი შეკითხვა ეხება y-კვეთას შორის ურთიერთობას b, დამოკიდებული ცვლადის საშუალებებს y და დამოუკიდებელი ცვლადი x, და ფერდობზე m.

შეკითხვის გამოსასწორებლად, ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ ხაზოვანი რეგრესიის განტოლების წარმოშობა. ხაზოვანი რეგრესია მიზნად ისახავს დამოკიდებულ ცვლადს შორის ურთიერთობის მოდელირებას y და ერთი ან მეტი დამოუკიდებელი ცვლადი x დაკვირვებულ მონაცემებზე წრფივი განტოლების მორგებით. მარტივი წრფივი რეგრესიის დროს, რომელიც მოიცავს ერთ პროგნოზირებულ ცვლადს, ურთიერთობა მოდელირებულია განტოლებით:

    \[ y = mx + b \]

აქ, m (დახრილობა) და b (y-კვეთა) არის პარამეტრები, რომლებიც უნდა განისაზღვროს. ფერდობზე m მიუთითებს ცვლილებაზე y ერთი ერთეულის შეცვლისთვის x, ხოლო y-კვეთა b წარმოადგენს მნიშვნელობას y როდესაც x ნულის ტოლია

ამ პარამეტრების საპოვნელად, ჩვენ ჩვეულებრივ ვიყენებთ უმცირეს კვადრატების მეთოდს, რომელიც ამცირებს კვადრატული განსხვავებების ჯამს დაკვირვებულ მნიშვნელობებსა და მოდელის მიერ პროგნოზირებულ მნიშვნელობებს შორის. ეს მეთოდი იძლევა ფერდობის შემდეგ ფორმულებს m და y-გადაკვეთა b:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

აქ, \ბარი{x} მდე \ბარი{y} არის საშუალებები x მდე y ღირებულებები, შესაბამისად. Ტერმინი \sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} წარმოადგენს კოვარიანტს x მდე y, ხოლო \sum{(x_i - \bar{x})^2} წარმოადგენს განსხვავებას x.

y-კვეთის ფორმულა b შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად: ერთხელ ფერდობზე m განისაზღვრება, y-კვეთა b გამოითვლება საშუალოს აღებით y მნიშვნელობები და გამოკლება ფერდობის ნამრავლი m და საშუალო x ღირებულებები. ეს უზრუნველყოფს რეგრესიის ხაზის გავლას წერტილში (\bar{x}, \bar{y}), რომელიც არის მონაცემთა წერტილების ცენტრი.

ამის მაგალითით საილუსტრაციოდ, განიხილეთ მონაცემთა ნაკრები შემდეგი მნიშვნელობებით:

    \[ \დაწყება \ბოლო{მასივი} \]

პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალებებს x მდე y:

    \[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 \]

    \[ \bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = 4 \]

შემდეგი, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფერდობზე m:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ = \ფრაქ{(1-3)(2-4) + (2-3)(3-4) + (3-3)(5-4) + (4-3)(4-4) + (5-3)(6-4)}{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^ 2} \]

    \[ = \ფრაკ{(-2)(-2) + (-1)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{(-2) ^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2} \]

    \[ = \ფრაკ{4 + 1 + 0 + 0 + 4}{4 + 1 + 0 + 1 + 4} \]

    \[ = \frac{9}{10} = 0.9 \]

საბოლოოდ, ჩვენ ვიანგარიშებთ y-კვეთას b:

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

    \[ = 4 - 0.9 \ჯერ 3 \]

    \[ = 4 - 2.7 \]

    \[ = 1.3 \]

მაშასადამე, ხაზოვანი რეგრესიის განტოლება ამ მონაცემთა ნაკრებისთვის არის:

    \[ y = 0.9x + 1.3 \]

ეს მაგალითი აჩვენებს, რომ y-კვეთა b მართლაც უდრის ყველას საშუალოს y მნიშვნელობები მინუს ფერდობის პროდუქტი m და ყველა საშუალო x მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება ფორმულას b = \bar{y} - m\bar{x}.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ y-კვეთა b არ არის უბრალოდ ყველაფრის საშუალება y ღირებულებები პლუს ფერდობის პროდუქტი m და ყველა საშუალო x ღირებულებები. ამის ნაცვლად, იგი გულისხმობს ფერდობის პროდუქტის გამოკლებას m და ყველა საშუალო x ღირებულებები ყველას საშუალოდან y ღირებულებებს.

ამ პარამეტრების წარმოშობისა და მნიშვნელობის გაგება აუცილებელია ხაზოვანი რეგრესიის ანალიზის შედეგების ინტერპრეტაციისთვის. y-გადაკვეთა b იძლევა ღირებულ ინფორმაციას დამოკიდებული ცვლადის საბაზისო დონის შესახებ y როდესაც დამოუკიდებელი ცვლადი x არის ნული. ფერდობზე mმეორე მხრივ, მიუთითებს შორის ურთიერთობის მიმართულებასა და სიძლიერეს შორის x მდე y.

პრაქტიკულ პროგრამებში, ხაზოვანი რეგრესია ფართოდ გამოიყენება პროგნოზირებადი მოდელირებისა და მონაცემთა ანალიზისთვის. ის ემსახურება როგორც ფუნდამენტურ ტექნიკას სხვადასხვა სფეროში, მათ შორის ეკონომიკაში, ფინანსებში, ბიოლოგიაში და სოციალურ მეცნიერებებში. დაკვირვებულ მონაცემებზე ხაზოვანი მოდელის მორგებით, მკვლევარებსა და ანალიტიკოსებს შეუძლიათ პროგნოზების გაკეთება, ტენდენციების იდენტიფიცირება და ცვლადებს შორის ურთიერთობების აღმოჩენა.

პითონი, პოპულარული პროგრამირების ენა მონაცემთა მეცნიერებისა და მანქანათმცოდნეობისთვის, გთავაზობთ რამდენიმე ბიბლიოთეკას და ინსტრუმენტს ხაზოვანი რეგრესიის შესასრულებლად. `scikit-learn` ბიბლიოთეკა, მაგალითად, გთავაზობთ ხაზოვანი რეგრესიის პირდაპირ განხორციელებას მისი `LinearRegression` კლასის მეშვეობით. აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა შეასრულოთ ხაზოვანი რეგრესია `scikit-learn`-ის გამოყენებით Python-ში:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

ამ მაგალითში, `LinearRegression` კლასი გამოიყენება ხაზოვანი რეგრესიის მოდელის შესაქმნელად. `fit` მეთოდს უწოდებენ მოდელის სავარჯიშო მონაცემებს, ხოლო `coef_` და `intercept_` ატრიბუტები გამოიყენება შესაბამისად დახრილობის და y-კვეთის გამოსაძიებლად.

y-გადაკვეთა b წრფივ რეგრესიაში არ არის ყველა საშუალოს ტოლი y ღირებულებები პლუს ფერდობის პროდუქტი m და ყველა საშუალო x ღირებულებები. სამაგიეროდ, ის უდრის ყველას საშუალოს y მნიშვნელობები მინუს ფერდობის პროდუქტი m და ყველა საშუალო x მნიშვნელობები, როგორც მოცემულია ფორმულით b = \bar{y} - m\bar{x}.

სხვა ბოლოდროინდელი კითხვები და პასუხები EITC/AI/MLP მანქანური სწავლება Python- ით:

იხილეთ მეტი კითხვა და პასუხი EITC/AI/MLP Machine Learning-ში Python-ით

მეტი კითხვა და პასუხი:

Tagged ქვეშ: , , , , ,